排序 - 归并排序(Merge Sort)

将两个的有序数列合并成一个有序数列，称之为"归并"。归并排序(Merge Sort)就是利用归并思想对数列进行排序。

• 动图演示
• 代码实现

概述

归并排序（Merge sort）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。

作为一种典型的分而治之思想的算法应用，归并排序的实现由两种方法：

• 自上而下的递归（所有递归的方法都可以用迭代重写，所以就有了第 2 种方法）；
• 自下而上的迭代；

核心思想：

1. 申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列；
2. 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置；
3. 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置；
4. 重复步骤 3 直到某一指针达到序列尾；
5. 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾。

动图演示

复杂度和稳定性

冒泡排序时间复杂度

冒泡排序的时间复杂度是O(N2)。假设被排序的数列中有N个数。遍历一趟的时间复杂度是O(N)，需要遍历多少次呢? N-1次！因此，冒泡排序的时间复杂度是O(N2)。

冒泡排序稳定性

冒泡排序是稳定的算法，它满足稳定算法的定义。算法稳定性 -- 假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！

代码实现

//迭代版：

template<typename T> // 整數或浮點數皆可使用,若要使用物件(class)時必須設定"小於"(<)的運算子功能
void merge_sort(T arr[], int len) {
    T *a = arr;
    T *b = new T[len];
    for (int seg = 1; seg < len; seg += seg) {
        for (int start = 0; start < len; start += seg + seg) {
            int low = start, mid = min(start + seg, len), high = min(start + seg + seg, len);
            int k = low;
            int start1 = low, end1 = mid;
            int start2 = mid, end2 = high;
            while (start1 < end1 && start2 < end2)
                b[k++] = a[start1] < a[start2] ? a[start1++] : a[start2++];
            while (start1 < end1)
                b[k++] = a[start1++];
            while (start2 < end2)
                b[k++] = a[start2++];
        }
        T *temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }
    if (a != arr) {
        for (int i = 0; i < len; i++)
            b[i] = a[i];
        b = a;
    }
    delete[] b;
}


//递归版：

void Merge(vector<int> &Array, int front, int mid, int end) {
    // preconditions:
    // Array[front...mid] is sorted
    // Array[mid+1 ... end] is sorted
    // Copy Array[front ... mid] to LeftSubArray
    // Copy Array[mid+1 ... end] to RightSubArray
    vector<int> LeftSubArray(Array.begin() + front, Array.begin() + mid + 1);
    vector<int> RightSubArray(Array.begin() + mid + 1, Array.begin() + end + 1);
    int idxLeft = 0, idxRight = 0;
    LeftSubArray.insert(LeftSubArray.end(), numeric_limits<int>::max());
    RightSubArray.insert(RightSubArray.end(), numeric_limits<int>::max());
    // Pick min of LeftSubArray[idxLeft] and RightSubArray[idxRight], and put into Array[i]
    for (int i = front; i <= end; i++) {
        if (LeftSubArray[idxLeft] < RightSubArray[idxRight]) {
            Array[i] = LeftSubArray[idxLeft];
            idxLeft++;
        } else {
            Array[i] = RightSubArray[idxRight];
            idxRight++;
        }
    }
}

void MergeSort(vector<int> &Array, int front, int end) {
    if (front >= end)
        return;
    int mid = (front + end) / 2;
    MergeSort(Array, front, mid);
    MergeSort(Array, mid + 1, end);
    Merge(Array, front, mid, end);
}